Estão disponíveis a partir desta página os apontamentos correspondentes às aulas leccionadas na cadeira de Álgebra Linear e Geometria Analítica da turma LR11D, ao longo do 2º semestre de 2008/2009.


Bibliografia

• David Poole; Linear Algebra - A Modern Introduction; 2º ed. 2006

 

Apontamentos da cadeira publicados a cada uma das aulas.

Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Ribeiro.

Material de apoio coligido pela Prof. Isabel Matos.

Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Leandro.


Aulas.

  • Aula 1 - (16.03.09): Matrizes. Conceitos fundamentais. Matriz. Elemento, linha e coluna de uma matriz. Matriz linha e matriz coluna. Matriz nula. Matriz rectangular e matriz quadrada. Diagonal principal. Traço. Matriz triangular superior e inferior. Matriz diagonal. Matriz escalar. Matriz identidade.

  • Aula 2 - (16.03.09): Álgebra matricial. Igualdade. Adição. Multiplicação por um escalar. Multiplicação matricial. Potenciação. Matriz transposta. Matriz simétrica e matriz anti-simétrica.

  • Aula 3 - (18.03.09): Matrizes equivalentes por linhas. Matriz escalonada. Pivot. Operações elementares sobre linhas. Matriz equivalente por linhas. Característica.

    • ( O script MatLab que permite escalonar passo a passo uma matriz (seja numérica ou simbólica) encontra-se aqui ). 

  • Aula 4 - (23.03.09): Sistemas de equações lineares. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Classificação de sistemas quanto à solução. Sistemas homogéneos.

  • Aula 5 - (23.03.09): Exercícios.

  • Aula 6 - (25.03.09): Matriz inversa. Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial.

    • Teste Parcial 01 - (30.03.09) - Aulas 1 a 6.

  • Aula 7 - (30.03.09): Determinantes. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes. Determinante de uma matriz triangular. Operações sobre linhas. Método de condensação.

  • Aula 8 - (01.04.09): Exercícios.

  • Aula 9 - (06.04.09): Vectores em Rn. Vectores livres. Vectores em R2 e R3. Vectores em Rn. Vectores iguais. Soma de vectores. Produto de um escalar por um vector. Notação matricial. Vector nulo. Vector simétrico. Propriedades da soma e do produto por um escalar.

  • Aula 10 - (06.04.09): Espaços Vectoriais. Estruturas algébricas. Espaço vectorial. Combinação linear. Independência linear.

  • Aula 11 - (08.04.09): Subespaço, Base e Dimensão. Subespaço. Subespaço gerado. Base e dimensão. Mudança de base.

  • Aula 12 - (20.04.09): Exercícios.

  • Aula 13 - (20.04.09): Exercícios.

  • Aula 14 - (22.04.09): Produto interno em Rn. Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em Rn: Produto interno. Norma. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Desigualdade triangular. Ângulo. Distância. Vectores ortogonais. Teorema de Pitágoras.

    • Teste Parcial 02 - (27.04.09) - Aulas 7 a 13.

  • Aula 15 - (27.04.09): Projecção ortogonal. Projecção ortogonal. Base ortogonal e base ortonormada. Produto externo de vectores em R3. Produto misto de vectores em R3.

  • Aula 16 - (29.04.09): Os 4 espaços fundamentais. Complemento ortogonal. Espaços fundamentais de uma matriz. Espaços fundamentais de uma matriz, característica e nulidade. Ortogonalização de Gram-Schmidt.

  • Aula 17 - (04.05.09): Exercícios.

  • Aula 18 - (04.05.09): Exercícios.

  • Aula 19 - (06.05.09): Transformações Lineares. Transformação linear. Classificação de transformações lineares. Matriz de uma transformação linear e mudança de base. Imagem e núcleo de uma transformação linear. Composição de transformações lineares. Transformação linear inversa.

  • Aula 20 - (11.05.09): Transformações Lineares. Transformações lineares elementares em R2 e R3.  Transformações afins: translação. Isometria

  • Aula 21 - (11.05.09): Exercícios.

  • Aula 22 - (13.05.09): Exercícios.

    • Teste Parcial 03 - (18.05.09) - Aulas 14 a 22.

  • Aula 23 - (18.05.09): Diagonalização. Valores e vectores próprios. Equação característica. Matrizes semelhantes. Matriz diagonalizável. Factorização PDP-1.

  • Aula 24 - (20.05.09): Diagonalização. Diagonalização de matrizes simétricas. Decomposição espectral.

  • Aula 25 - (25.05.09): Decomposição em valores singulares. Valores singulares. Decomposição em valores singulares. Interpretação geométrica. SVD e os 4 espaços fundamentais de uma matriz.

  • Aula 26 - (25.05.09): Exercícios.

  • Aula 27 - (27.05.09): Mínimo erro quadrático. Melhor aproximação. Vector de erro. Mínimo erro quadrático. Solução de mínimo erro quadrático. Equações normais.

  • Aula 28 - (01.06.09): Quadrados mínimos e projecção num subespaço. Quadrados mínimos e projecção num subespaço. Matriz pseudo-inversa.

  • Aula 29 - (01.06.09): Exercícios.

    • Teste Parcial 04 - (08.06.09) - Aulas 23 a 29.


Fichas de trabalho.

 


Elementos de avaliação contínua.

  • (20.07.09) - Trabalhos MatLab.

  • (21.07.09 a 31.07.09 - Discussão dos trabalhos MatLab.

 


Métodos de Avaliação.

  • Avaliação contínua.

  • Avaliação por exame:  Caso não obtenham aprovação por avaliação contínua os alunos poderão optar por realizar um exame, com a duração de 2h30m, comum a todas as turmas da cadeira de ALGA, numa das duas Fases disponíveis, sendo a sua nota final a resultante desta prova (necessariamente entre 10 e 20 valores).

  • Melhoria de nota: Os alunos já aprovados poderão tentar melhorar a sua nota no exame de 1ª ou 2ª Fase, mediante inscrição para tal fim na Secretaria, sendo a sua nota final a resultante desta prova (necessariamente entre 10 e 20 valores).

 


Resultados finais da avaliação (15.09.09).