Estão disponíveis a partir
desta página os apontamentos correspondestes às
aulas leccionadas na cadeira de Álgebra Linear e Geometria Analítica da
turma LR11D ao longo do 1º semestre de 2007/2008
• David Poole; Linear Algebra - A Modern Introduction; 2º ed. 2006
• Anton Rorres; Elementary Linear Algebra – Application Version; 9º ed. 2005
• Eric Lengyel; Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics; 1st ed. 2002
• Gerald Farin; Pratical Linear Algebra – A Geometry Toolbox; 1st ed. 2005
• Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Ribeiro.
• Material de apoio coligido pela Prof. Isabel Matos.
• Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Leandro.
Aula 1. (24.09.07) • Apresentação. Motivação, Enquadramento e Objectivos. Aula 2. (24.09.07) • Exemplos de Aplicação.
• Módulo 0 - MatLab : Aula 3. (27.09.07) • Introdução ao MatLab.
• Módulo 1 - Matrizes : Aula 4. (01.10.07) • Matriz. Elemento, linha e coluna de uma matriz. Matiz linha e matriz coluna. Matriz nula. Matriz rectangular e quadrada. Diagonal principal. Traço. Matriz diagonal. Matriz triangular superior e inferior. Matriz escalar. Matriz identidade. Aula 5. (01.10.07) • Igualdade. Adição. Multiplicação por um escalar. Produto. Potência. Matriz transposta. Matriz simétrica e anti-simétrica. Matriz conjugada e transconjugada. Matriz hermitiana e anti-hermitiana. Aula 6. (04.10.07) • Matriz escada. Pivot. Operações sobre linhas. Matriz equivalente por linhas. Característica. Aula 7. (08.10.07) • Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial.
• Módulo 2 - Sistemas : Aula 8. (08.10.07) • Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Classificação de sistemas quanto à solução. Aula 9. (11.10.07) • Sistemas homogéneos. Exercícios.
• Módulo 3 - Determinantes : Aula 10. (15.10.07) • Submatriz. Menor. Determinante de 1ª e 2ª ordem. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Determinante de uma matriz triangular. Operações sobre linhas. Método de Condensação. Aula 11. (15.10.07) • Propriedades dos determinantes. Exercícios.
• Módulo 4 - Vectores em R2 e R3 : Aula 12. (18.10.07) • Vectores livres: Segmento orientado; Origem e extremidade; Vectores iguais; Vector simétrico; Soma de vectores; Propriedades; Vector nulo; Produto de um escalar por um vector; Propriedades; Norma; Vector unitário; Ângulo de dois vectores; Vectores ortogonais; Produto interno; Projecção ortogonal; Vectores em R2 e R3: Referencial ortonormado; Componentes e coordenadas de um vector; Soma de vectores; Produto de um escalar por um vector. Aula 13. (22.10.07) • Notação matricial; Norma; Produto interno; Vectores ortogonais. Aula 14. (22.10.07) • Vectores em R3: Referencial ortonormado; Componentes e coordenadas de um vector; Soma de vectores; Produto de um escalar por um vector; Notação matricial; Norma; Produto interno; Vectores ortogonais; Produto externo; Propriedades; Produto misto; Interpretação geométrica. Aula 15. (25.10.07) • Aplicações.
• Módulo 5 - Vectores em Rn : Aula 16. (29.10.07) • Vectores iguais. Soma de vectores. Produto de um escalar por um vector. Vector nulo. Vector simétrico. Propriedades algébricas. Produto interno. Propriedades. Norma. Ângulo entre dois vectores. Distância. Desigualdade de Cauchy-Schwartz. Desigualdade triangular. Espaço euclidiano. Combinação linear. Independência linear. Vectores ortogonais. Projecção ortogonal. Aula 17. (29.10.07) • Subespaço. Base. Dimensão. Base ortogonal e ortonormada. Mudança de base. Aula 18. (05.11.07) • Exercícios sobre vectores em Rn. Aula 19. (05.11.07) • Exercícios sobre vectores em Rn.
• Módulo 6 - Transformações Lineares de Rn em Rm : Aula 20. (08.11.07) • Transformações lineares. Matriz da transformação. Transformações lineares elementares em R2: Projecção ortogonal; Reflexão; Rotação; Expansão; Contracção. Transformações lineares elementares em R3: Projecção ortogonal; Reflexão; Rotação; Expansão; Contracção. Composição de transformações lineares. Transformação linear inversa. Transformações afins: Translação. Aula 21. (12.11.07) • Exercícios. Aula 22. (12.11.07) • Aplicações. Aula 23. (15.11.07) • Aplicações. Matriz de rotação sobre um eixo arbitrário.
• Módulo 7 - Factorização de Matrizes : Aula 24. (19.11.07) • Valores e vectores próprios: Subespaço próprio. Equação característica. Multiplicidade algébrica e geométrica. Aula 25. (19.11.07) • Diagonalização: Matriz semelhante. Matriz diagonalizável. Factorização PDP-1. Ortogonalização: Ortogonalidade em Rn. Aula 26. (22.11.07) • Complemento ortogonal. Exercícios. Aula 27. (26.11.07) • Espaços fundamentais de uma matriz. Aula 28. (26.11.07) • Ortogonalização de Gram-Schmidt. Matriz ortogonal. Isometria. Aula 29. (29.11.07) • Factorização QR. Diagonalização de matrizes simétricas.
• Módulo 8 - Complementos e Aplicações : Aula 30. (03.12.07) • Valores Singulares. Decomposição em Valores Singulares (SVD). Interpretação Geométrica. Aula 31. (03.12.07) • Aplicações e exercícios. Compressão de Imagem. BoundingBox. Aula 32. (06.12.07) • SVD e os 4 espaços fundamentais de uma matriz. Minimização do erro quadrático: Melhor aproximação. Vector de erro. Mínimo erro quadrático. Solução de mínimo erro quadrático. Equações normais. Aula 33. (10.12.07) • Quadrados mínimos e factorização QR. Quadrados mínimos e projecção num subespaço. Matriz pseudo-inversa. Aula 34. (10.12.07) • Exercícios e aplicações.
• Módulo 9 - Espaço de Sinais : Aula 35. (13.12.07) • O corpo dos complexos. Plano complexo. Forma cartesiana e polar. Fórmula de Euler e Teorema de DeMoivre. Aula 36. (17.12.07) • Raízes de Números Complexos. Funções complexas de variável complexa. Sinais. Sinais contínuos e discretos. Sinais periódicos e não periódicos. Função exponencial complexa contínua. Função exponencial complexa discreta. Função impulso unitário discreto. Aula 37. (17.12.07) • Estruturas algébricas. Grupóide. Semigrupo. Monóide. Grupo. Grupo comutativo. Anel. Corpo. Espaço vectorial. Aula 38. (03.01.08) • Subespaço vectorial. Combinação linear. Subespaço gerado. Independência linear. Base e dimensão. Exercícios. Mudança de base no espaço de funções.
• Módulo 10 - Espaço de Sinais com Métrica : Aula 39. (07.01.08) • Produto interno. Norma. Distância. Ângulo. Vectores ortogonais. Base ortogonal. Base ortonormada. Projecção ortogonal. Aula 40. (07.01.08) • Melhor aproximação. Projecção num subespaço. Mínimo erro quadrático. Ortogonalização de Gram-Schmidt. Aula 41. (10.01.08) • Exercícios e aplicações.
• Regras de avaliação
• Trabalho em Matlab 04
• Pauta 08.03.08
• Ficha de Avaliação 01 (18.10.07 a 22.10.07) • Matrizes.
• Ficha de Avaliação 02 (25.10.07 a 29.10.07) • Sistemas. Determinantes.
• Ficha de Avaliação 03 (08.11.07 a 12.11.07) • Vectores em Rn.
• Ficha de Avaliação 04 (15.11.07 a 19.11.07) • Transformações lineares de Rn em Rm.
• Trabalho em Matlab 01 (05.11.07 a 26.11.07) • Matrizes. Sistemas. Determinantes. Vectores em Rn. Transformações lineares de Rn em Rm. Função determinante por expansão em cofactores. Representação gráfica de transformações lineares em R2.
• Ficha de Avaliação 05 (28.11.07 a 03.12.07) • Factorização de Matrizes.
• Ficha de Avaliação 06 (28.11.07 a 06.12.07) • Factorização de Matrizes.
• Ficha de Avaliação 07 (10.12.07 a 13.12.07) • Revisões.
• Ficha de Avaliação 08 (13.12.07 a 17.12.07) • Complementos (SVD e EQ).
• Trabalho em Matlab 02 (28.11.07 a 03.01.08) • Factorização de Matrizes. Reconhecimento de Caracteres. Animação 3D.
• Ficha de Avaliação 09 (07.01.08 a 10.01.08) • Espaço de Sinais.
• Ficha de Avaliação 10 (10.01.08 a 14.01.08) • Revisões.
• Trabalho em Matlab 03 (16.01.08 a 15.02.08) • Complementos e Aplicações. Espaço de Sinais. Espaço de Sinais com Métrica. "BoundingBox".