Estão disponíveis a partir desta página os apontamentos correspondestes às aulas leccionadas na cadeira de Álgebra Linear e Geometria Analítica da turma LR11D ao longo do 1º semestre de 2007/2008


Bibliografia Principal

• David Poole; Linear Algebra - A Modern Introduction; 2º ed. 2006

• Anton Rorres; Elementary Linear Algebra – Application Version; 9º ed. 2005

• Eric Lengyel; Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics; 1st ed. 2002

• Gerald Farin; Pratical Linear Algebra – A Geometry Toolbox; 1st ed. 2005

 

         

 

 Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Ribeiro.

 Material de apoio coligido pela Prof. Isabel Matos.

 Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Leandro.

 


Aulas

 

Aula 1. (24.09.07) • Apresentação. Motivação, Enquadramento e Objectivos. Aula 2. (24.09.07) • Exemplos de Aplicação.

Módulo 0 - MatLab : Aula 3. (27.09.07) • Introdução ao MatLab.

Módulo 1 - Matrizes : Aula 4. (01.10.07) • Matriz. Elemento, linha e coluna de uma matriz. Matiz linha e matriz coluna. Matriz nula. Matriz rectangular e quadrada. Diagonal principal. Traço. Matriz diagonal. Matriz triangular superior e inferior. Matriz escalar. Matriz identidade. Aula 5. (01.10.07) • Igualdade. Adição. Multiplicação por um escalar. Produto. Potência. Matriz transposta. Matriz simétrica e anti-simétrica. Matriz conjugada e transconjugada. Matriz hermitiana e anti-hermitiana. Aula 6. (04.10.07) • Matriz escada. Pivot. Operações sobre linhas. Matriz equivalente por linhas. Característica. Aula 7. (08.10.07) • Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial.

Módulo 2 - Sistemas : Aula 8. (08.10.07) • Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Classificação de sistemas quanto à solução. Aula 9. (11.10.07) • Sistemas homogéneos. Exercícios.

Módulo 3 - Determinantes : Aula 10. (15.10.07) • Submatriz. Menor. Determinante de 1ª e 2ª ordem. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Determinante de uma matriz triangular. Operações sobre linhas. Método de Condensação. Aula 11. (15.10.07) • Propriedades dos determinantes. Exercícios.

Módulo 4 - Vectores em R2 e R3 : Aula 12. (18.10.07) • Vectores livres: Segmento orientado; Origem e extremidade; Vectores iguais; Vector simétrico; Soma de vectores; Propriedades; Vector nulo; Produto de um escalar por um vector; Propriedades; Norma; Vector unitário; Ângulo de dois vectores; Vectores ortogonais; Produto interno; Projecção ortogonal; Vectores em R2 e R3: Referencial ortonormado; Componentes e coordenadas de um vector; Soma de vectores; Produto de um escalar por um vector. Aula 13. (22.10.07) • Notação matricial; Norma; Produto interno; Vectores ortogonais. Aula 14. (22.10.07) • Vectores em R3: Referencial ortonormado; Componentes e coordenadas de um vector; Soma de vectores; Produto de um escalar por um vector; Notação matricial; Norma; Produto interno; Vectores ortogonais; Produto externo; Propriedades; Produto misto; Interpretação geométrica. Aula 15. (25.10.07) • Aplicações.

Módulo 5 - Vectores em Rn : Aula 16. (29.10.07) • Vectores iguais. Soma de vectores. Produto de um escalar por um vector. Vector nulo. Vector simétrico. Propriedades algébricas. Produto interno. Propriedades. Norma. Ângulo entre dois vectores. Distância. Desigualdade de Cauchy-Schwartz. Desigualdade triangular. Espaço euclidiano. Combinação linear. Independência linear. Vectores ortogonais. Projecção ortogonal. Aula 17. (29.10.07) • Subespaço. Base. Dimensão. Base ortogonal e ortonormada. Mudança de base. Aula 18. (05.11.07) • Exercícios sobre vectores em Rn. Aula 19. (05.11.07) • Exercícios sobre vectores em Rn.

Módulo 6 - Transformações Lineares de Rn em Rm : Aula 20. (08.11.07) • Transformações lineares. Matriz da transformação. Transformações lineares elementares em R2: Projecção ortogonal; Reflexão; Rotação; Expansão; Contracção. Transformações lineares elementares em R3: Projecção ortogonal; Reflexão; Rotação; Expansão; Contracção. Composição de transformações lineares. Transformação linear inversa. Transformações afins: Translação. Aula 21. (12.11.07) • Exercícios. Aula 22. (12.11.07) • Aplicações. Aula 23. (15.11.07) • Aplicações. Matriz de rotação sobre um eixo arbitrário.

Módulo 7 - Factorização de Matrizes : Aula 24. (19.11.07) • Valores e vectores próprios: Subespaço próprio. Equação característica. Multiplicidade algébrica e geométrica. Aula 25. (19.11.07) • Diagonalização: Matriz semelhante. Matriz diagonalizável. Factorização PDP-1. Ortogonalização: Ortogonalidade em Rn. Aula 26. (22.11.07) • Complemento ortogonal. Exercícios. Aula 27. (26.11.07) • Espaços fundamentais de uma matriz. Aula 28. (26.11.07) • Ortogonalização de Gram-Schmidt. Matriz ortogonal. Isometria. Aula 29. (29.11.07) • Factorização QR. Diagonalização de matrizes simétricas.

Módulo 8 - Complementos e Aplicações : Aula 30. (03.12.07) • Valores Singulares. Decomposição em Valores Singulares (SVD). Interpretação Geométrica. Aula 31. (03.12.07) • Aplicações e exercícios. Compressão de Imagem. BoundingBox. Aula 32. (06.12.07) • SVD e os 4 espaços fundamentais de uma matriz. Minimização do erro quadrático: Melhor aproximação. Vector de erro. Mínimo erro quadrático. Solução de mínimo erro quadrático. Equações normais. Aula 33. (10.12.07) • Quadrados mínimos e factorização QR. Quadrados mínimos e projecção num subespaço. Matriz pseudo-inversa. Aula 34. (10.12.07) • Exercícios e aplicações.

Módulo 9 - Espaço de Sinais : Aula 35. (13.12.07) • O corpo dos complexos. Plano complexo. Forma cartesiana e polar. Fórmula de Euler e Teorema de DeMoivre. Aula 36. (17.12.07) • Raízes de Números Complexos. Funções complexas de variável complexa. Sinais. Sinais contínuos e discretos. Sinais periódicos e não periódicos. Função exponencial complexa contínua. Função exponencial complexa discreta. Função impulso unitário discreto. Aula 37. (17.12.07) • Estruturas algébricas. Grupóide. Semigrupo. Monóide. Grupo. Grupo comutativo. Anel. Corpo. Espaço vectorial. Aula 38. (03.01.08) • Subespaço vectorial. Combinação linear. Subespaço gerado. Independência linear. Base e dimensão. Exercícios. Mudança de base no espaço de funções.

Módulo 10 - Espaço de Sinais com Métrica : Aula 39. (07.01.08) • Produto interno. Norma. Distância. Ângulo. Vectores ortogonais. Base ortogonal. Base ortonormada. Projecção ortogonal. Aula 40. (07.01.08) • Melhor aproximação. Projecção num subespaço. Mínimo erro quadrático. Ortogonalização de Gram-Schmidt. Aula 41. (10.01.08) • Exercícios e aplicações.


Avaliação

Regras de avaliação

Trabalho em Matlab 04

 Pauta 08.03.08 

Ficha de Avaliação 01 (18.10.07 a 22.10.07) • Matrizes.

Ficha de Avaliação 02 (25.10.07 a 29.10.07) • Sistemas. Determinantes.

Ficha de Avaliação 03 (08.11.07 a 12.11.07) • Vectores em Rn.

Ficha de Avaliação 04 (15.11.07 a 19.11.07) • Transformações lineares de Rn em Rm.

Trabalho em Matlab 01 (05.11.07 a 26.11.07) • Matrizes. Sistemas. Determinantes. Vectores em Rn. Transformações lineares de Rn em Rm. Função determinante por expansão em cofactores. Representação gráfica de transformações lineares em R2.

Ficha de Avaliação 05 (28.11.07 a 03.12.07) • Factorização de Matrizes.

Ficha de Avaliação 06 (28.11.07 a 06.12.07) • Factorização de Matrizes.

Ficha de Avaliação 07 (10.12.07 a 13.12.07) • Revisões.

Ficha de Avaliação 08 (13.12.07 a 17.12.07) • Complementos (SVD e EQ).

Trabalho em Matlab 02 (28.11.07 a 03.01.08) • Factorização de Matrizes. Reconhecimento de Caracteres. Animação 3D.

Ficha de Avaliação 09 (07.01.08 a 10.01.08) • Espaço de Sinais.

Ficha de Avaliação 10 (10.01.08 a 14.01.08) • Revisões.

Trabalho em Matlab 03 (16.01.08 a 15.02.08) • Complementos e Aplicações. Espaço de Sinais. Espaço de Sinais com Métrica. "BoundingBox".