Estão disponíveis a partir desta página os apontamentos correspondentes às aulas leccionadas na cadeira de Álgebra Linear e Geometria Analítica das turmas LR11D e LR/I11N, ao longo do 1º semestre de 2008/2009.


Bibliografia

• David Poole; Linear Algebra - A Modern Introduction; 2º ed. 2006

• Anton Rorres; Elementary Linear Algebra – Application Version; 9º ed. 2005

 

  

Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Ribeiro.

Material de apoio coligido pela Prof. Isabel Matos.

Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Leandro.


Aulas

 AULA 1: (26.09.08)
  • Matrizes. Conceitos fundamentais. Matriz. Elemento, linha e coluna de uma matriz. Matriz linha e matriz coluna. Matriz nula. Matriz rectangular e matriz quadrada. Diagonal principal. Traço. Matriz triangular superior e inferior. Matriz diagonal. Matriz escalar. Matriz identidade.
 AULA 2: (26.09.08)
  • Álgebra matricial. Igualdade. Adição. Multiplicação por um escalar. Multiplicação matricial. Potenciação. Matriz transposta. Matriz simétrica e matriz anti-simétrica.
 AULA 3: (30.09.08)
  • Matrizes equivalentes por linhas. Matriz escalonada. Pivot. Operações elementares sobre linhas. Matriz equivalente por linhas. Característica.

(O script MatLab que permite escalonar passo a passo uma matriz (seja numérica ou simbólica) encontra-se aqui )

 AULA 4: (02.10.08)
  • Sistemas de equações lineares. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Classificação de sistemas quanto à solução. Sistemas homogéneos.
 AULA 5: (02.10.08)
  • Exercícios.
 AULA 6: (07.10.08)
  • Matriz inversa. Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial.
 AULA 7: (09.10.08)
  • Determinantes. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes. Determinante de uma matriz triangular. Operações sobre linhas. Método de condensação.
 AULA 8: (09.10.08)
  • Exercícios.
 AULA 9: (21.10.08)
  • Vectores em Rn. Vectores livres. Vectores em R2 e R3. Vectores em Rn. Vectores iguais. Soma de vectores. Produto de um escalar por um vector. Notação matricial. Vector nulo. Vector simétrico. Propriedades da soma e do produto por um escalar.
 AULA 10: (23.10.08)
  • Espaços Vectoriais. Estruturas algébricas. Espaço vectorial. Combinação linear. Independência linear.
 AULA 11: (28.10.08)
  • Subespaço, Base e Dimensão. Subespaço. Subespaço gerado. Base e dimensão. Mudança de base.
 AULA 12: (30.10.08)
  • Exercícios.
 AULA 13: (30.10.08)
  • Exercícios.
 AULA 14: (11.11.08)
  • Transformações Lineares. Transformação linear. Classificação de transformações lineares. Matriz de uma transformação linear e mudança de base. Imagem e núcleo de uma transformação linear. Operações com transformações lineares. Transformações lineares elementares em R2 e R3.
 AULA 15: (13.11.08)
  • Exercícios.
 AULA 16: (13.11.08)
  • Exercícios.
 AULA 17: (02.12.08)
  • Diagonalização. Valores e vectores próprios. Equação característica. Matrizes semelhantes. Matriz diagonalizável. Factorização PDP-1. Exercícios.
 AULA 18: (11.12.08)
  • Produto interno em Rn. Vectores livres. Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em Rn. Produto interno. Norma. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Desigualdade triangular. Ângulo. Distância. Propriedades. Espaço euclidiano. Vectores ortogonais. Teorema de Pitágoras. Produto externo de vectores em R3.
 AULA 19: (16.12.08)
  • Projecção ortogonal. Projecção ortogonal. Base ortogonal e base ortonormada. Exercícios.
 AULA 20: (18.12.08)
  • Os 4 espaços fundamentais. Complemento ortogonal. Espaços fundamentais de uma matriz. Espaços fundamentais de uma matriz, característica e nulidade. Ortogonalização de Gram-Schmidt.
 AULA 21: (18.12.08)
  • Exercícios.

 


Métodos de Avaliação.

  • Existem dois métodos independentes de avaliação:

    • Avaliação contínua
      • Três testes com a duração de 60 minutos, comum a todas as turmas da cadeira de ALGA, cotados para 20 valores, cujas notas se designam por T1, T2 e T3 (entre 0 e 20 e arredondadas às décimas).
      • Quatro fichas de trabalho para resolver em casa por cada aluno, com um prazo de entrega de 1 (uma) semana, cotadas para 0,75 valores cada, num total de 3 (três) valores. Designemos por F a soma das notas das 4 fichas (entre 0 e 3 e arredondada às décimas).
      • Designando por N=arr[F+(T1+T2+T3)/3] (valor entre 0 e 23) o valor (arredondado ao inteiro mais próximo) da soma da média dos 3 testes com a nota F das fichas, a condição para aprovação na cadeira por avaliação contínua é:

        T1>=8 e T2>=8 e T3>=8 e N>=10.

      • Em caso de aprovação, a nota final será NF = Min[N,20] (necessariamente entre 10 e 20 valores).
      • Se NF >= 18, o aluno será submetido a uma prova oral.

       

    • Avaliação por exame
      • Os alunos poderão sempre optar por realizar um exame, comum a todas as turmas da cadeira de ALGA, numa das duas Fases disponíveis, sendo a sua nota final a resultante desta prova (necessariamente entre 10 e 20 valores).

Fichas de avaliação.

  • Ficha 1 (Matrizes).
  • Ficha 2 (Sistemas e Determinantes).
  • Ficha 3 (Espaços Vectoriais e Transformações Lineares).
  • Ficha 4 (Transformações Lineares, Valores e Vectores Próprios e Espaços Euclidianos).

Fichas de Trabalho.

 


Resultados da avaliação em  19.01.09.