Estão disponíveis a partir
desta página os
apontamentos correspondentes às aulas leccionadas na cadeira de
Álgebra Linear e Geometria Analítica das turmas LR11D, LI12D e
LI13D, ao longo do 2º semestre de 2007/2008.
• David Poole; Linear Algebra - A Modern Introduction; 2º ed. 2006
• Anton Rorres; Elementary Linear Algebra – Application Version; 9º ed. 2005

• Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Ribeiro.
• Material de apoio coligido pela Prof. Isabel Matos.
• Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Leandro.
AULA
1 :
- Matrizes. Conceitos fundamentais.
Matriz. Elemento, linha e coluna de uma matriz. Matriz linha e matriz
coluna. Matriz nula. Matriz rectangular e matriz quadrada. Diagonal
principal. Traço. Matriz triangular superior e inferior. Matriz
diagonal. Matriz escalar. Matriz identidade.
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AULA
2 :
- Álgebra matricial. Igualdade. Adição.
Multiplicação por um escalar. Multiplicação matricial. Potenciação. Matriz transposta.
Matriz simétrica e matriz anti-simétrica
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AULA
3 :
- Matrizes equivalentes por linhas.
Matriz escalonada. Pivot. Operações elementares sobre
linhas. Matriz equivalente por linhas. Característica.
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AULA
4 :
- Sistemas de equações lineares. Equação
linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do
sistema. Método de Gauss-Jordan. Classificação de sistemas quanto à
solução. Sistemas homogéneos.
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AULA
6 :
- Matriz inversa. Matriz inversa. Método de
condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial.
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AULA
7 :
- Determinantes. Determinantes de 1ª e 2ª
ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores.
Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes.
Determinante de uma matriz triangular. Operações sobre linhas.
Método de condensação.
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AULA
9 :
- Vectores em Rn. Vectores
livres. Vectores em R2 e R3. Vectores em Rn.
Vectores iguais. Soma de vectores. Produto de um escalar por um
vector. Notação matricial. Vector nulo. Vector simétrico.
Propriedades da soma e do produto por um escalar.
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AULA
11 :
- Espaços Vectoriais. Estruturas
algébricas. Espaço vectorial. Combinação linear. Independência
linear.
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AULA
12 :
- Subespaço, Base e Dimensão. Subespaço.
Subespaço gerado. Base e dimensão. Mudança de
base.
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AULA
15 :
- Produto interno em Rn.
Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais.
Vectores em Rn: Produto interno. Norma. Desigualdade de
Cauchy-Schwarz. Desigualdade triangular. Ângulo. Distância. Vectores
ortogonais. Teorema de Pitágoras.
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AULA
16 :
- Projecção ortogonal. Projecção
ortogonal. Base ortogonal e base ortonormada. Produto externo de
vectores em R3. Produto misto de vectores em R3.
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AULA
17 :
- Os 4 espaços fundamentais. Complemento
ortogonal. Espaços fundamentais de uma matriz. Espaços fundamentais
de uma matriz, característica e nulidade. Ortogonalização de
Gram-Schmidt.
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AULA
21 :
- Números complexos. Números complexos.
Plano complexo. Forma polar. Fórmulas de Euler e de Moivre. Raízes
de números complexos. Funções complexas de variável complexa.
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AULA
22 :
- Matrizes complexas. Matrizes conjugada,
transconjugada, hermitiana e anti-hemitiana. Sinais contínuos e
sinais discretos. Função exponencial complexa contínua. Função
exponencial complexa discreta. Função impulso unitário discreto.
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AULA
23 :
- Ortogonalidade em espaços de funções.
Produto interno em espaços vectoriais reais ou complexos. Produto
interno. Norma. Distância. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ângulo.
Vectores ortogonais. Base ortogonal. Base ortonormada. Projecção
ortogonal. Ortogonalização de Gram-Schmidt.
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AULA
25 :
- Transformações lineares de Rn em
Rm. Transformação linear. Matriz canónica da
transformação. Transformações lineares elementares em R2.
Transformações lineares elementares em R3. Isometria.
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AULA
26 :
- Transformações lineares de Rn em
Rm. Composição de transformações lineares.
Transformação linear inversa. Transformações afins. Translação.
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AULA
28 :
- Diagonalização. Valores e vectores
próprios. Equação característica. Matrizes semelhantes. Matriz
diagonalizável. Factorização PDP-1.
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AULA
29 :
- Diagonalização. Diagonalização de
matrizes simétricas. Decomposição espectral.
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AULA
31 :
- Decomposição em valores singulares.
Valores singulares. Decomposição em valores singulares.
Interpretação geométrica. SVD e os 4 espaços fundamentais de uma
matriz.
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AULA
33 :
- Mínimo erro quadrático. Melhor
aproximação. Vector de erro. Mínimo erro quadrático. Solução de
mínimo erro quadrático. Equações normais.
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AULA
34 :
- Quadrados mínimos e projecção num subespaço.
Quadrados mínimos e projecção num subespaço. Matriz pseudo-inversa.
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AULA
37 :
- Erro quadrático em espaços de funções.
Melhor aproximação. Projecção num subespaço. Mínimo erro
quadrático..
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- Avaliação contínua:
- Seis testes parciais com a duração de 30 minutos realizados, em
cada uma das turmas, ao longo do semestre.
- A nota média dos seis testes parciais contribuirá para 50% da
nota final.
- Os teste parciais não têm nota mínima.
- Um teste final, comum às turmas LR11D, LI11/12/13D e LI/R11N,
com a duração de 3 horas, realizado na 1ª semana após o fim do
semestre.
- A nota do teste final contribuirá para 50% da nota final.
- O teste final tem nota mínima de 10 valores.
- Os alunos que não obtiverem nota mínima de 10 valores no teste
final, poderão repetir a prova na 1ª data de exame.
- Avaliação por exame:
- Os alunos que não obtiverem aprovação por avaliação contínua
poderão realizar a 2ª data de exame, comum a todas as turmas da
cadeira de ALGA, sendo a sua nota final a resultante desta prova.
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