Estão disponíveis a partir desta página os apontamentos correspondentes às aulas leccionadas na cadeira de Álgebra Linear e Geometria Analítica das turmas LR11D, LI12D e LI13D, ao longo do 2º semestre de 2007/2008.


Bibliografia

• David Poole; Linear Algebra - A Modern Introduction; 2º ed. 2006

• Anton Rorres; Elementary Linear Algebra – Application Version; 9º ed. 2005

 

  

Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Ribeiro.

Material de apoio coligido pela Prof. Isabel Matos.

Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Leandro.


Aulas

  •  AULA 1 :
    • Matrizes. Conceitos fundamentais. Matriz. Elemento, linha e coluna de uma matriz. Matriz linha e matriz coluna. Matriz nula. Matriz rectangular e matriz quadrada. Diagonal principal. Traço. Matriz triangular superior e inferior. Matriz diagonal. Matriz escalar. Matriz identidade.
  •  AULA 2 :
    • Álgebra matricial. Igualdade. Adição. Multiplicação por um escalar. Multiplicação matricial. Potenciação. Matriz transposta. Matriz simétrica e matriz anti-simétrica
  •  AULA 3 :
    • Matrizes equivalentes por linhas. Matriz escalonada. Pivot. Operações elementares sobre linhas. Matriz equivalente por linhas. Característica.
  •  AULA 4 :
    • Sistemas de equações lineares. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Classificação de sistemas quanto à solução. Sistemas homogéneos.
  •  AULA 5 :
    • Exercícios.
  •  AULA 6 :
    • Matriz inversa. Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial.
  •  AULA 7 :
    • Determinantes. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes. Determinante de uma matriz triangular. Operações sobre linhas. Método de condensação.
  •  AULA 8 :
    • Exercícios.
  •  AULA 9 :
    • Vectores em Rn. Vectores livres. Vectores em R2 e R3. Vectores em Rn. Vectores iguais. Soma de vectores. Produto de um escalar por um vector. Notação matricial. Vector nulo. Vector simétrico. Propriedades da soma e do produto por um escalar.
  •  AULA 10 :
    • Teste parcial 1.
  •  AULA 11 :
    • Espaços Vectoriais. Estruturas algébricas. Espaço vectorial. Combinação linear. Independência linear.
  •  AULA 12 :
    • Subespaço, Base e Dimensão. Subespaço. Subespaço gerado. Base e dimensão. Mudança de base.
  •  AULA 13 :
    • Exercícios.
  •  AULA 14 :
    • Exercícios.
  •  AULA 15 :
    • Produto interno em Rn. Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em Rn: Produto interno. Norma. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Desigualdade triangular. Ângulo. Distância. Vectores ortogonais. Teorema de Pitágoras.
  •  AULA 16 :
    • Projecção ortogonal. Projecção ortogonal. Base ortogonal e base ortonormada. Produto externo de vectores em R3. Produto misto de vectores em R3.
  •  AULA 17 :
    • Os 4 espaços fundamentais. Complemento ortogonal. Espaços fundamentais de uma matriz. Espaços fundamentais de uma matriz, característica e nulidade. Ortogonalização de Gram-Schmidt.
  •  AULA 18 :
    • Exercícios.
  •  AULA 19 :
    • Teste parcial 2.
  •  AULA 20 :
    • Exercícios.
  •  AULA 21 :
    • Números complexos. Números complexos. Plano complexo. Forma polar. Fórmulas de Euler e de Moivre. Raízes de números complexos. Funções complexas de variável complexa.
  •  AULA 22 :
    • Matrizes complexas. Matrizes conjugada, transconjugada, hermitiana e anti-hemitiana. Sinais contínuos e sinais discretos. Função exponencial complexa contínua. Função exponencial complexa discreta. Função impulso unitário discreto.
  •  AULA 23 :
    • Ortogonalidade em espaços de funções. Produto interno em espaços vectoriais reais ou complexos. Produto interno. Norma. Distância. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ângulo. Vectores ortogonais. Base ortogonal. Base ortonormada. Projecção ortogonal. Ortogonalização de Gram-Schmidt.
  •  AULA 24 :
    • Teste parcial 3.
  •  AULA 25 :
    • Transformações lineares de Rn em Rm. Transformação linear. Matriz canónica da transformação. Transformações lineares elementares em R2. Transformações lineares elementares em R3. Isometria.
  •  AULA 26 :
    • Transformações lineares de Rn em Rm. Composição de transformações lineares. Transformação linear inversa. Transformações afins. Translação.
  •  AULA 27 :
    • Exercícios.
  •  AULA 28 :
    • Diagonalização. Valores e vectores próprios. Equação característica. Matrizes semelhantes. Matriz diagonalizável. Factorização PDP-1.
  •  AULA 29 :
    • Diagonalização. Diagonalização de matrizes simétricas. Decomposição espectral.
  •  AULA 30 :
    • Teste parcial 4.
  •  AULA 31 :
    • Decomposição em valores singulares. Valores singulares. Decomposição em valores singulares. Interpretação geométrica. SVD e os 4 espaços fundamentais de uma matriz.
  •  AULA 32 :
    • Exercícios.
  •  AULA 33 :
    • Mínimo erro quadrático. Melhor aproximação. Vector de erro. Mínimo erro quadrático. Solução de mínimo erro quadrático. Equações normais.
  •  AULA 34 :
    • Quadrados mínimos e projecção num subespaço. Quadrados mínimos e projecção num subespaço. Matriz pseudo-inversa.
  •  AULA 35 :
    • Teste parcial 5.
  •  AULA 36 :
    • Exercícios.
  •  AULA 37 :
    • Erro quadrático em espaços de funções. Melhor aproximação. Projecção num subespaço. Mínimo erro quadrático..
  •  AULA 38 :
    • Teste parcial 6.

Métodos de Avaliação.

  • Avaliação contínua:
    • Seis testes parciais com a duração de 30 minutos realizados, em cada uma das turmas, ao longo do semestre.
      • A nota média dos seis testes parciais contribuirá para 50% da nota final.
      • Os teste parciais não têm nota mínima.
    • Um teste final, comum às turmas LR11D, LI11/12/13D e LI/R11N, com a duração de 3 horas, realizado na 1ª semana após o fim do semestre.
      • A nota do teste final contribuirá para 50% da nota final.
      • O teste final tem nota mínima de 10 valores.
      • Os alunos que não obtiverem nota mínima de 10 valores no teste final, poderão repetir a prova na 1ª data de exame.
  • Avaliação por exame:
    • Os alunos que não obtiverem aprovação por avaliação contínua poderão realizar a 2ª data de exame, comum a todas as turmas da cadeira de ALGA, sendo a sua nota final a resultante desta prova.

Fichas de Trabalho.


Resultados da avaliação em  14.07.08.