Estão disponíveis a partir desta página os apontamentos correspondentes às aulas leccionadas na cadeira de Álgebra Linear e Geometria Analítica da turma LR11D, ao longo do 1º semestre de 2009/2010.


Bibliografia

• David Poole; Linear Algebra - A Modern Introduction; 2º ed. 2006

 

Apontamentos da cadeira publicados a cada uma das aulas.

Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Ribeiro.

Material de apoio coligido pela Prof. Isabel Matos.

Material de apoio coligido pelo Prof. Carlos Leandro.


Aulas.

  • Aula 1 - (28.09.09): Matrizes. Conceitos fundamentais. Matriz. Elemento, linha e coluna de uma matriz. Matriz linha e matriz coluna. Matriz nula. Matriz rectangular e matriz quadrada. Diagonal principal. Traço. Matriz triangular superior e inferior. Matriz diagonal. Matriz escalar. Matriz identidade.

  • Aula 2 - (28.09.09): Álgebra matricial. Igualdade. Adição. Multiplicação por um escalar. Multiplicação matricial. Potenciação. Matriz transposta. Matriz simétrica e matriz anti-simétrica.

  • Aula 3 - (30.09.09): Matrizes equivalentes por linhas. Matriz escalonada. Pivot. Operações elementares sobre linhas. Matriz equivalente por linhas. Característica.

    • ( O script MatLab que permite escalonar passo a passo uma matriz (seja numérica ou simbólica) encontra-se aqui ). 

  • Aula 4 - (07.10.09): Sistemas de equações lineares. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Classificação de sistemas quanto à solução. Sistemas homogéneos.

  • Aula 5 - (12.10.09): Exercícios.

  • Aula 6 - (12.10.09): Matriz inversa. Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial.

  • Aula 7 - (14.10.09): Determinantes. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes. Determinante de uma matriz triangular. Operações sobre linhas. Método de condensação.

  • Aula 8 - (19.10.09): Exercícios.

  • (19.10.09): Exercícios de Revisão.


  • Aula 9 - (21.10.09): Vectores em Rn. Vectores livres. Vectores em R2 e R3. Vectores em Rn. Vectores iguais. Soma de vectores. Produto de um escalar por um vector. Notação matricial. Vector nulo. Vector simétrico. Propriedades da soma e do produto por um escalar.

  • Aula 10 - (26.10.09): Espaços Vectoriais. Estruturas algébricas. Espaço vectorial. Combinação linear. Independência linear.

  • Aula 11 - (26.10.09): Subespaço, Base e Dimensão. Subespaço. Subespaço gerado. Base e dimensão. Mudança de base.

    • Teste Parcial 01 - (28.10.09) - Aulas 1 a 8.

  • Aula 12 - (02.11.09): Exercícios.

  • Aula 13 - (02.11.09): Exercícios.

  • (04.11.09): Exercícios.

  • Aula 14 - (09.11.09): Produto interno em Rn. Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em Rn: Produto interno. Norma. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Desigualdade triangular. Ângulo. Distância. Vectores ortogonais. Teorema de Pitágoras.

  • Aula 15 - (09.11.09): Projecção ortogonal. Projecção ortogonal. Base ortogonal e base ortonormada. Produto externo de vectores em R3. Produto misto de vectores em R3.

  • Aula 16 - (11.11.09): Os 4 espaços fundamentais. Complemento ortogonal. Espaços fundamentais de uma matriz. Espaços fundamentais de uma matriz, característica e nulidade. Ortogonalização de Gram-Schmidt.

  • Aula 17 - (16.11.09): Exercícios.

  • Aula 18 - (16.11.09): Exercícios.

  • (18.11.09): Exercícios.


  • Aula 19 - (23.11.09): Transformações Lineares. Transformação linear. Classificação de transformações lineares. Matriz de uma transformação linear e mudança de base. Imagem e núcleo de uma transformação linear. Composição de transformações lineares. Transformação linear inversa.

  • Aula 20 - (23.11.09): Transformações Lineares. Transformações lineares elementares em R2 e R3.  Isometria.

    • Teste Parcial 02 - (25.11.09) - Aulas 9 a 18.

  • Aula 21 - (30.11.09): Exercícios.

  • Aula 22 - (30.11.09): Exercícios.

  • (02.12.09): Exercícios.

  • Aula 23 - (07.12.09): Diagonalização. Valores e vectores próprios. Equação característica. Matrizes semelhantes. Matriz diagonalizável. Factorização PDP-1.

  • Aula 24 - (07.12.09): Diagonalização. Diagonalização de matrizes simétricas. Decomposição espectral.

  • Aula 25 - (09.12.09): Decomposição em valores singulares. Valores singulares. Decomposição em valores singulares. Interpretação geométrica. SVD e os 4 espaços fundamentais de uma matriz.

  • Aula 26 - (14.12.09): Exercícios.

  • Aula 27 - (14.12.09): Mínimo erro quadrático. Melhor aproximação. Vector de erro. Mínimo erro quadrático. Solução de mínimo erro quadrático. Equações normais.

  • Aula 28 - (16.12.09): Quadrados mínimos e projecção num subespaço. Quadrados mínimos e projecção num subespaço. Matriz pseudo-inversa.

  • Aula 29 - (04.01.10): Exercícios.

  • (04.01.10): Exercícios.

    • Teste Parcial 03 - (06.01.10) - Aulas 19 a 29.


    Fichas de trabalho.

     

     


    Elementos de avaliação contínua.

     

     

     

  •  


    Métodos de Avaliação.

     

    • Avaliação contínua:
      • Três testes parciais com a duração de 1h30 realizados, em cada uma das turmas, ao longo do semestre.
        • A nota média dos três testes parciais (entre 0 e 20 valores) contribuirá para 30% da nota final.
        • Os teste parciais não têm nota mínima.
      • Um teste final, comum às turmas LR11D, LR12D e LR11N, com a duração de 3 horas, realizado na 1ª data de exame.
        • A nota do teste final (entre 0 e 20 valores) contribuirá para 70% da nota final.
        • O teste final tem nota mínima de 10 valores.
        • Os alunos que não obtiverem nota mínima de 10 valores no teste final, poderão repetir a prova na 2ª data de exame.
    • Avaliação por exame:
      • Os alunos que não obtiverem aprovação por avaliação contínua poderão realizar um exame, comum às turmas LR11D, LR12D e LR11N, com a duração de 3 horas, numa das duas datas disponíveis, sendo a sua nota final (entre 10 e 20 valores) a resultante desta prova.

     


    Resultados da avaliação (05.02.10).